Ejercicios resueltos

1. Considere los siguientes intervalos: 

A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5].

Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: 

a) A u D                       b) A Ç C                                               c) B – C 

d) A Ç (B u C)             e) B^* (el complemento de B)            f) C^* (el complemento de C)

   

a. A u D = D = (-4, 5] = {x x  R / -4 < x £ 5}

b.  A Ç C = [-1, 3] = {  x x  R  / -1 £ x £ 3}

c. La diferencia entre los conjuntos B y C se define como el conjunto formado por los elementos que están en B, pero que no están en C, esto es, el intervalo (-3, -1). 

Asi que: B-C=(-3,-1)={ x x R / -3 < x < -1} 

Igualmente, C - B = [3, 4] = { x x  R  / 3 £ x £ 4} 

d. En primer lugar, B u C = (-3, 4] = { x x  R / -3 < x £ 4}  

 

De la gráfica anterior, se deduce que: 

  A Ç (B u C) = (-3, 3] = { x x  R/ -3 < x £ 3}

e. En este caso, el conjunto Universal o referencial es R . 

Asi que: 

B^* = R - B = (- ¥ , -3] U [3, +¥) = { x x  R / x < = -3 v x >= 3}

Igualmente,  C^* = R - C = (-¥ , -1) U (4, +¥ )= {x x R/ x < -1 v x > 4}


2. Resolver la desigualdad: 

Debe notarse en primer lugar que la desigualdad no es equivalente a x >= 2, puesto que (x - 1) no siempre es positivo. Sin embargo, . 

Esta última desigualdad se satisface si y solo si x = 2 o las dos cantidades: (x – 2) y (x – 1) tienen el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas) ¿porqué? 

Pero, (x – 2) y (x – 1) son positivas si y solo si x > 2. También, (x – 2) y (x – 1) son negativas si y solo si x < 1. 

En consecuencia, la solución de la desigualdad la constituye la unión de los intervalos: 

[2, + ¥ ) y (-¥ , 1). 

Esto es, S = (-¥ , 1] U [ 2, +¥ )